计科03:[布尔代数和逻辑门]

布尔逻辑和逻辑门

视频

1. 什么是二进制

计算机是最早的机电设备，一般用十进制计数，比如用齿轮数来代表十进制，再到晶体管计算机。

只用 开/关两种状态来代表信息，这叫二进制。如果只需表示true和false，两个值就够了。电路闭合，电流流过，代表“真”；电路断开，无电流通过，代表“假”。二进制也可以写成1和0而不是true和false，只是不同的表达方式罢了。

晶体管的确可以不只是 开/关，还可以让不同大小的电流通过。一些早期电子计算机是三进制的，有 3 种状态，甚至五进制，5 种状态；问题是，状态越多，越难区分信号。如果手机快没电了或者附近有电噪音，比如有人在用微波炉，信号可能会混在一起，而每秒百万次变化的晶体管会让这个问题变得更糟。所以我们把两种信号尽可能分开，只用”开”和”关”两种状态，可以尽可能减少这类问题。

1.1 布尔代数

计算机用二进制的另一个原因是有一整个数学分支存在，专门处理“真”和“假”，它已经解决了所有法则和运算，它叫作“布尔代数”。

乔治·布尔（George Boole）是布尔二字的由来，他是一位19 世纪自学成才的英国数学家。他感兴趣用数学式子扩展亚里士多德基于哲学的逻辑方法，布尔用逻辑方程系统而正式的证明真理(truth)。他在1847 年的第一本书”逻辑的数学分析”中介绍过：在”常规“的代数里，是数字，可以进行加法或乘法之类的操作；但在布尔代数中，变量的值是 true 和 false，能进行逻辑操作。

2. 三个基本操作：NOT,AND,OR

布尔代数中三个基本操作：NOT, AND 和 OR，这些操作都非常有用。

2.1 NOT

NOT操作把布尔值反转，把true进行NOT就会变成false，反之亦然。

根据NOT操作的输入和输出，做出如下表

使用晶体管可以轻松实现这个逻辑。晶体管只是电控制的开关，有3根线：2根电极和一根控制线。控制线通电时，电流就可以从一个电极流到另一个电极；就像水龙头一样：打开水龙头，水流出，关掉水龙头，就没水了。

可以把控制线，当做输入，底部的电极，当做输出，所以一个晶体管，就有一个输入和一个输出。当打开输入时，输出也会打开，因为电流可以通过；如果关闭输入，输出也会关闭，因为电流无法通过。用布尔代数来说，输入为真，输出为真；输入为假，输出为假。这个电路没什么意思，因为它没有做什么事情。

但稍加修改，即可实现NOT，只要把输出放到上面即可。如下图示：

• 当打开输入on，电流可以流过然后“接地”，输出就没有电流了，所以输出是off。
• 当输入是off，电流没法接地，就流过了输出，所以输出是on。

接地：大地是一个电阻非常低、电容量非常大的物体，拥有吸收无限电荷的能力，而且在吸收大量电荷后仍能保持电位不变 ，故接地后设备其他线路就不会有电流输出。

如上图示叫非门(NOT gate)，之所以叫门，是因为它能控制电流的路径。

2.2 AND

AND操作有两个输入，1个输出，如下表所示：

输入	输入	输出
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

• 简单记忆：遇假即假，全真即真。

为了实现与门(AND gate)，需要两个晶体管连在一起，如下图示：

这样有2个输入和1个输出，如果只打开A，不打开B，电流无法流到output，所以输出是false；如果只打开B，不开A，也一样，电流无法流到output；只有A和B都打开了，output才有电流。

2.3 OR

OR操作也有两个输入，1个输出，其中2个输入里1个是true，输出就是true。如下表所示：

输入	输入	输出
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

• 遇真即真，全假即假。

为了实现或门(OR gate)，除了晶体管还要额外的线，不是串联起来，而是并联。如下图示：

左边这条线表示电流输入，如果A和B都是OFF，电流就无法通过任意一条线流到输出，所以输出是OFF；如果只打开A，电流可以流过，输出ON；如果只打开B，电流也可以通过，输出ON；只要A或者B是ON，输出就是ON，如果AB都是ON，那么输出自然是ON。

3. XOR异或

异或(XOR)，输入相同时输出false，不同才输出true。如下XOR表：

如果两个输入都是true，或者都是false，那么XOR输出false；如果一个输入为true，另一个为false，那么XOR输出才会是true。

• 相同即假，不同才真。

用晶体管实现异或门(XOR gate)，需使用到前面提到的三种门来做异或门。墙裂推荐配合视频学习理解(时间07:38)。

如上图A和B输入两个true，到下方的OR门，输出依然是true，上方第一个AND门输入两个true，输出也是true，然后电流到NOT门，反转电流高低电平，true变成了false，到最后一个AND门就是输入一个false一个true，输出就是false；如此便满足XOR门第一个条件，输入两个true，输出false，以此类推。